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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {A9  ESPACES EUCLIDIENS}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\begin{center}
$\fbox{PRODUIT SCALAIRE}$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item : Dire si chacune des applications suivantes est un produit scalaire
sur $\mathbb{R}^{2}$ : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
$\left( \left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y%
\end{array}%
\right) \;\left\vert \;\left( 
\begin{array}{c}
x^{\prime } \\ 
y^{\prime }%
\end{array}%
\right) \right. \right) =$ & sym\'{e}trique ? & bilin\'{e}aire ? & $\left(
\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y%
\end{array}%
\right) \;\left\vert \,\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y%
\end{array}%
\right) \right. \right) =$ & positif ? & d\'{e}fini ? \\ \hline
$xx^{\prime }$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$xx^{\prime }-yy^{\prime }$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$2xx^{\prime }+yy^{\prime }-xy^{\prime }-x^{\prime }y$ &  &  &  &  &  \\ 
\hline
$xy^{\prime }+yx^{\prime }$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\left( xx^{\prime }+yy^{\prime }\right) ^{2}$ &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Idem pour $\left( \left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}%
\right) \left\vert \left( 
\begin{array}{c}
x^{\prime } \\ 
y^{\prime } \\ 
z^{\prime }%
\end{array}%
\right) \right. \right) =2\left( xx^{\prime }+yy^{\prime }+zz^{\prime
}\right) +xy^{\prime }+yx^{\prime }+xz^{\prime }+zx^{\prime }+yz^{\prime
}+zy^{\prime }$ sur $\mathbb{R}^{3}.$

\item :\newline

\begin{enumerate}
\item Montrer que dans un $\mathbb{R}$-espace muni d'un produit-scalaire : 
\begin{equation*}
\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{y}%
\right\Vert \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}%
\right) \perp \left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right) \text{ et }%
\overrightarrow{x}\perp \overrightarrow{y}\Leftrightarrow \left\Vert 
\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{%
x}-\overrightarrow{y}\right\Vert
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire des CNS de g\'{e}om\'{e}trie :

\begin{enumerate}
\item Un parall\'{e}logramme ABCD est un losange ssi

\item Un parall\'{e}logramme ABCD est un rectangle ssi

\item Un triangle ABC est isoc\`{e}le en A ssi

\item Un triangle ABC\ est rectangle en A ssi
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item * : Soit $\mathbb{E}$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'une
norme $\left\Vert \;.\;\right\Vert .$ On suppose que cette norme v\'{e}rifie
l'\'{e}galit\'{e} du parall\'{e}logramme, \`{a} savoir : 
\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{E\;}\;\left\Vert \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}%
\right\Vert ^{2}+\left\Vert x-\overrightarrow{y}\right\Vert ^{2}=2\left(
\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \overrightarrow{y}%
\right\Vert ^{2}\right)
\end{equation*}%
On se propose de d\'{e}montrer que cette norme est euclidienne, c'est-\`{a}%
-dire qu'il existe un produit scalaire $\left( \;.\;\left\vert \;.\right.
\right) $ tel que $\forall \overrightarrow{x}\in \mathbb{E}\;\left\Vert 
\overrightarrow{x}\right\Vert ^{2}=\left( \;\overrightarrow{x}\left\vert 
\overrightarrow{x}\right. \right) .$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\left( \;.\;\left\vert \;.\right. \right) $ existe
alors 
\begin{equation*}
\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in \mathbb{E}\;\;\;\;\left( \;%
\overrightarrow{x}\left\vert \overrightarrow{y}\right. \right) =\left\Vert 
\frac{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert 
\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}}{2}\right\Vert ^{2}
\end{equation*}%
\newline
Cette formule d\'{e}finit une aplication de $\mathbb{E}^{2}$ vers $\mathbb{R}
$ ; reste \`{a} montrer que c'est bien un produit scalaire.

\item Montrer que $\left( \overrightarrow{x_{1}}+\overrightarrow{x_{2}}%
\left\vert \;\overrightarrow{y}\right. \right) =\left( \;\overrightarrow{%
x_{1}}\left\vert \overrightarrow{y}\right. \right) +\left( \;\overrightarrow{%
x_{2}}\left\vert \overrightarrow{y}\right. \right) $ (indication : $%
\left\Vert \left( \overrightarrow{x_{1}}+\overrightarrow{x_{2}}\right) -%
\overrightarrow{y}\right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{x_{1}}+\left( 
\overrightarrow{x_{2}}-\overrightarrow{y}\right) \right\Vert $)

\item Pour $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ fix\'{e}s, on pose $%
f\left( \alpha \right) =\left( \;\alpha \overrightarrow{x}\left\vert 
\overrightarrow{y}\right. \right) .$ V\'{e}rifier que 
\begin{equation*}
\forall \alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb{R\;}\;f\left( \alpha _{1}+\alpha
_{2}\right) =f\left( \alpha _{1}\right) +f\left( \alpha _{2}\right)
\end{equation*}%
et que $f$ est continue.

\item Conclure, en utilisant un r\'{e}sultat sur les fonctions continues.%
\newline
\newline
$\fbox{CAUCHY-SCHWARZ}$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Prouver : $\forall \left( x_{1},x_{2},...,x_{n}\right) \in \mathbb{R}%
^{n}\quad \left( x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right) ^{2}\leqslant n\left(
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) $\newline
A quelle CNS a-t'on \'{e}galit\'{e} ?

Red\'{e}montrer cette in\'{e}galit\'{e} en utilisant l'in\'{e}galit\'{e} de
convexit\'{e}.

\item Prouver : $\forall \left( x_{1},x_{2},...,x_{n}\right) \in \left( 
\mathbb{R}_{+}^{\ast }\right) ^{n}\ \ \ \left( x_{1}+x_{2}+\cdots
+x_{n}\right) \left( \dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\cdots +\dfrac{1}{%
x_{n}}\right) \geqslant n^{2}.$ Cas d'\'{e}galit\'{e} ?

\item Prouver : 
\begin{eqnarray*}
\left( \alpha \right) &:&\forall n\geqslant 1\quad \sum_{k=1}^{n}k\sqrt{k}%
\leqslant \frac{n\left( n+1\right) \sqrt{2n+1}}{2\sqrt{3}} \\
\left( \beta \right) &:&\forall n\geqslant 2\quad \sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{%
\left( n-k\right) ^{2}}\geqslant \frac{2}{n\left( n-1\right) }\left(
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n-k}\right) ^{2}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\item Soit $\mathbb{E}=\left\{ f\in \mathcal{C}\left( \left[ 0,1\right] ,%
\mathbb{R}\right) \;/\;\forall x\in \left[ 0,1\right] \;\;\;f\left( x\right)
\neq 0\right\} .$ Pour $f\in \mathbb{E},$ on pose : $P\left( f\right)
=\dint_{0}^{1}f\left( x\right) dx\dint_{0}^{1}\dfrac{dx}{f\left( x\right) }.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\underset{f\in \mathbb{E}}{\min }P\left( f\right) =1$ $;$
d\'{e}terminer l'ensemble des fonctions $f\in \mathbb{E}$ pour lesquelles $%
P\left( f\right) =1.$

\item Montrer que $\underset{f\in \mathbb{E}}{\sup }P\left( f\right)
=+\infty .$
\end{enumerate}

\item Montrer que pour $x\geqslant 1,$ $\ln x\leqslant \sqrt{x-1}$ (prendre $%
f:t\mapsto 1$ et $g:t\mapsto \dfrac{1}{t}$). En d\'{e}duire $\underset{%
x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{\ln x}{x}.$

\item Propri\'{e}t\'{e}s du produit scalaire usuel dans $M_{n}\left( \mathbb{%
R}\right) .$

\begin{enumerate}
\item (Re)d\'{e}montrer que $\left( A~|~B\right) =tr\left( ^{t}AB\right) $ d%
\'{e}finit un produit scalaire dans $M_{n}\left( \mathbb{R}\right) .$

\item Montrer que $\left\vert tr\left( A\right) \right\vert \leqslant \sqrt{n%
}\left\Vert A\right\Vert $ ; indication : $tr\left( A\right) =\left(
I_{n}~|~A\right) .$

\item Montrer que $\left( A~|~B\right) =\left( ^{t}A~|~^{t}B\right) ,$ que $%
\left( AB~|~C\right) =\left( B~|~^{t}AC\right) =\left( A~|~C~^{t}B\right) ,$
et que $\left\Vert AB\right\Vert ^{2}=\left( ~^{t}AA|~B^{t}B\right) .$

\item * Montrer que $\left\Vert AB\right\Vert $ $\leqslant \left\Vert
A\right\Vert \left\Vert B\right\Vert $ .
\end{enumerate}

\item Soient $\left( a_{n}\right) $ et $\left( b_{n}\right) $ deux suites 
\`{a} termes $\geqslant 0$ ; on pose $s_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }%
}a_{k}$ et $t_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}b_{k}$ et $u_{n}=\overset%
{n}{\underset{k=1}{\sum }}\sqrt{a_{k}b_{k}}$ .

\begin{enumerate}
\item Montrer que si les suites $\left( s_{n}\right) $ et $\left(
t_{n}\right) $ sont convergentes, vers $s$ et $t$ respectivement, la suite $%
\left( u_{n}\right) $ \'{e}galement, et $\lim u_{n}\leqslant \sqrt{st}.$

\item Calculer $s,t,\sqrt{st}$ et $\lim u_{n}$ dans le cas o\`{u} $%
a_{k}=a^{k}$ et $b_{k}=b^{k},$ avec $a,b\in ]0,1[.$
\end{enumerate}

\item * : La \textit{moyenne} de $X=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}$ est 
\begin{equation*}
M\left( X\right) =\dfrac{1}{n}\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}x_{i}=m
\end{equation*}
la \textit{variance} de $X$ est%
\begin{equation*}
V\left( X\right) =M\left( \left( X-\overline{X}\right) ^{2}\right) ~\text{o%
\`{u} }\overline{X}=(m,...,m)
\end{equation*}%
,l'\textit{\'{e}cart-type} est 
\begin{equation*}
\sigma \left( X\right) =\sqrt{V\left( X\right) }
\end{equation*}
et la \textit{covariance} de $X$ et $Y=\left( y_{i}\right) $ est 
\begin{equation*}
Cov\left( X,Y\right) =M\left( \left( X-\overline{X}\right) \left( Y-%
\overline{Y}\right) \right)
\end{equation*}
(ici, le produit de deux \'{e}l\'{e}ment de $\mathbb{R}^{n}$ se fait coordonn%
\'{e}es par coordonn\'{e}es).

\begin{enumerate}
\item Montrer que $Cov\left( X,Y\right) =M\left( XY\right) -M\left( X\right)
M\left( Y\right) .$

\item Montrer que $\left( X,Y\right) $ $\mapsto Cov\left( X,Y\right) $ est
une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique positive sur $\mathbb{R}^{n},$ non
\textquotedblright d\'{e}finie\textquotedblright\ sur $\mathbb{R}^{n}$ mais
\textquotedblright d\'{e}finie\textquotedblright\ sur le sev des listes de
somme nulle.

\item Montrer que la covariance est en valeur absolue inf\'{e}rieure ou \'{e}%
gale au produit des \'{e}cart-types :%
\begin{equation*}
\left\vert Cov\left( X,Y\right) \right\vert \leqslant \sigma \left( X\right)
\sigma \left( Y\right) )
\end{equation*}%
$.$
\end{enumerate}

\newline
$\fbox{ORTHOGONALIT\'{E}}$

\item : Soit $E$ un espace euclidien (donc de dimension finie) ; $%
\overrightarrow{x}$ est un vecteur inconnu mais on connait pour tout $%
\overrightarrow{y}$ le scalaire $\left( \;\overrightarrow{x}\;\left\vert \;%
\overrightarrow{y}\right. \right) $ . Ceci permet-il de retrouver le vecteur 
$\overrightarrow{x}$ ?

\item : Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb{E}$
espace euclidien ;

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left( F+G\right) ^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$ ;
en d\'{e}duire que $\left( F\cap G\right) ^{\perp }=F^{\perp }+G^{\perp }$.

\item * Soit $E$ l'espace $C\left( [a,b],\mathbb{R}\right) $ muni du produit
scalaire usuel donn\'{e} dans le cours ; \newline
soit $c\in ]a,b[$ et $F=\left\{ f\in E\ /\ f\text{ est nulle sur }%
[a,c]\right\} $ ,\newline
et $G=\left\{ f\in E\ /\ f\text{ est nulle sur }[c,b]\right\} .$

Montrer que $F^{\perp }=G,G^{\perp }=F,$ $\left( F\cap G\right) ^{\perp }=E,$
et que donc : $\left( F\cap G\right) ^{\perp }\neq F^{\perp }+G^{\perp }.$
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer une base orthonormale pour le produits scalaires
rencontr\'{e} dans l'exercice 1 : $\left( \left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}%
\right) \left\vert \left( 
\begin{array}{c}
x^{\prime } \\ 
y^{\prime } \\ 
z^{\prime }%
\end{array}%
\right) \right. \right) =2\left( xx^{\prime }+yy^{\prime }+zz^{\prime
}\right) +xy^{\prime }+yx^{\prime }+xz^{\prime }+zx^{\prime }+yz^{\prime
}+zy^{\prime }$ sur $\mathbb{R}^{3}.$

\begin{enumerate}
\item M\'{e}thode 1 : proc\'{e}de de Schmidt sur la base canonique ; on
trouve: $\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ,\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left( 
\begin{array}{c}
-1 \\ 
2 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ,\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left( 
\begin{array}{c}
-1 \\ 
-1 \\ 
3%
\end{array}%
\right) \right) .$

\item M\'{e}thode 2 : remarquer que $\left( \left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}%
\right) \left\vert \left( 
\begin{array}{c}
x^{\prime } \\ 
y^{\prime } \\ 
z^{\prime }%
\end{array}%
\right) \right. \right) =XX^{\prime }+YY^{\prime }+ZZ^{\prime }$ avec $X=y+z$
etc..

On trouve $\left( \dfrac{1}{2}\left( 
\begin{array}{c}
-1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ,\dfrac{1}{2}\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
-1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) ,\dfrac{1}{2}\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
-1%
\end{array}%
\right) \right) .$
\end{enumerate}

\item : Calculer le produit scalaire $\left( \;\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}%
\right) \left\vert \left( 
\begin{array}{c}
x^{\prime } \\ 
y^{\prime } \\ 
z^{\prime }%
\end{array}%
\right) \right. \right) $ sachant que la base $\left( \left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ,\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right) ,\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) \right) $ est orthonorm\'{e}e.

\item : Soit $\mathbb{E}=\left\{ f\in \mathcal{C}\left( \mathbb{R},\mathbb{R}%
\right) \;/\;f\text{ est p\'{e}riodique de p\'{e}riode }2\pi \right\} .$

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $\mathbb{E}$ est un sous-espace vectoriel de $%
\mathcal{C}\left( \mathbb{R},\mathbb{R}\right) .$

\item Montrer que l'application : $\left\vert 
\begin{array}{l}
\;\;\mathbb{E}^{2}\;\rightarrow \;\;\;\mathbb{R} \\ 
\left( f,g\right) \mapsto \left( \;f\left\vert g\right. \right) =\dfrac{1}{%
2\pi }\dint_{0}^{2\pi }f\left( x\right) g\left( x\right) dx%
\end{array}%
\right. $ est un produit scalaire dans $\mathbb{E}$.

\item Montrer que la famille $\mathcal{F}_{n}=\left( x\mapsto \cos kx\right)
_{0\leqslant k\leqslant n}$ est orthogonale. La rendre orthonormale
(attention au cas $k=0$ qui est \`{a} part).

\item Qu'en d\'{e}duit-on pour la famille $\mathcal{F}_{n}$?
\end{enumerate}

\item : Pour $P,Q\in \mathbb{R}\left[ X\right] ,$ on pose $\left(
\;P\left\vert Q\right. \right) =\frac{1}{2}\dint_{-1}^{1}P\left( x\right)
Q\left( x\right) dx.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left( \;.\;\left\vert \;.\right. \right) $ est un
produit scalaire dans $\mathbb{R}\left[ X\right] .$

\item D\'{e}terminer $\left( \;X^{k}\left\vert X^{l}\right. \right) $ et
remplir le tableau 
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
$\left( \;.\;\left\vert \;.\right. \right) $ & $1$ & $X$ & $X^{2}$ \\ \hline
$1$ &  &  &  \\ \hline
$X$ &  &  &  \\ \hline
$X^{2}$ &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}
$.$

\item D\'{e}terminer une base orthonormale de $\mathbb{R}_{2}\left[ X\right] 
$ pour ce produit scalaire.\newline
R\'{e}ponse : $(1,\sqrt{3}X,\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left( 3X^{2}-1\right) ).$
\end{enumerate}

\item : Soit $\left( \overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},..,%
\overrightarrow{e}_{n}\right) $ une base de $\mathbb{E}$, espace euclidien,
et $\left( \overrightarrow{f}_{1},\overrightarrow{f}_{2},..,\overrightarrow{f%
}_{n}\right) $ la base orthogonale obtenue \`{a} partir de $\left( 
\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},..,\overrightarrow{e}%
_{n}\right) $ par le proc\'{e}d\'{e} de Schmidt, et $\overrightarrow{g}_{k}=%
\dfrac{\overrightarrow{f}_{k}}{\left\Vert \overrightarrow{f}_{k}\right\Vert }
$;\newline
montrer que $\overrightarrow{f}_{k}=\overrightarrow{e}_{k}-\overset{k-1}{%
\underset{i=1}{\sum }}\left( \overrightarrow{e}_{k}\;\;\left\vert 
\overrightarrow{g}_{i}\right. \right) \overrightarrow{g}_{i}$ ; en d\'{e}%
duire que $\overrightarrow{f}_{k}=p_{k}\left( \overrightarrow{e}_{k}\right) $
o\`{u} $p_{k}$ est la projection orthogonale sur $\left( Vect\left( 
\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},..,\overrightarrow{e}%
_{k-1}\right) \right) ^{\perp }.$

\item On dit que deux sev $F$ et $G$ sont faiblement orthogonaux s'il existe
3 sev deux \`{a} deux orthogonaux $H,F^{\prime },G^{\prime }$ tels que $%
F=H\oplus F^{\prime }$ et $G=H\oplus G^{\prime }$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\ $deux sev sont faiblement orthogonaux ssi leurs
orthogonaux le sont aussi.

\item Montrer que les sev engendr\'{e}s par deux sous-familles d'une famille
orthogonale sont faiblement orthogonaux.
\end{enumerate}

\item Somme directe orthogonale, m\^{e}me en dimension infinie.

Soit $E$ un espace muni d'un produit scalaire, $F$ un sous-espace vectoriel
de dimension finie.

Montrer que $E=F\oplus F^{\perp }$ (utiliser une base orthonorm\'{e}e de $F)$
; attention, ceci peut \^{e}tre faux si $F$ est de dimension infinie.

\newline
$\fbox{ENDOMORPHISMES D'UN ESPACE EUCLIDIEN}$

\item Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien, $A$ sa matrice dans
une base orthonorm\'{e}e ; montrer que 
\begin{equation*}
\left( \;\;\forall \vec{x},\vec{y}\in \mathbb{E}\quad \left( \vec{x}\mid f(%
\vec{y})\right) =\left( f(\overrightarrow{x})\mid \vec{y}\right) \;\;\right)
\Leftrightarrow A~\text{est sym\'{e}trique}
\end{equation*}

\item Soit $p\ $un projecteur de $\mathbb{E}$ espace euclidien de base $F$
et de direction $G$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p$ est une projection orthogonale (c'est-\`{a}-dire $%
F\perp G$) ssi $\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in \mathbb{%
E\;\;}\left( \;\overrightarrow{x}\;\left\vert \;p(\overrightarrow{y})\right.
\right) =\left( \;p(\overrightarrow{x})\;\left\vert \;\overrightarrow{y}%
\right. \right) .$ En d\'{e}duire que $A\in \mathfrak{M}_{n}\left( \mathbb{R}%
\right) $ est une matrice de projection orthogonale dans une base orthonorm%
\'{e}e ssi $A^{2}=A$ et $A$ est sym\'{e}trique (cf. ex 18).

\item * Montrer que $p$ est une projection orthogonale ssi $\forall 
\overrightarrow{x}\in \mathbb{E\;\;}\left( \;\overrightarrow{x}\;\left\vert
\;p(\overrightarrow{x})\right. \right) \geqslant 0.$

\item * Montrer que $p$ est une projection orthogonale ssi $\forall 
\overrightarrow{x}\mathbb{\;}\in \mathbb{E\ \ \ }\left\Vert p\left( 
\overrightarrow{x}\right) \right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{x}%
\right\Vert .$

1\`{e}re m\'{e}thode : pour $\overrightarrow{x}$ dans $F$ et $%
\overrightarrow{y}$ dans $G$, \'{e}crire que $\left\Vert p(\overrightarrow{x}%
+\lambda \overrightarrow{y})\right\Vert ^{2}\leqslant \left\Vert 
\overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}\right\Vert ^{2}$ et conclure.

2\`{e}me m\'{e}thode : prendre $\overrightarrow{x}$ dans $G^{\perp }$
montrer que $\left\Vert p\left( \overrightarrow{x}\right) \right\Vert
^{2}=\left\Vert p\left( \overrightarrow{x}\right) -\overrightarrow{x}%
\right\Vert ^{2}+\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert ^{2}$ et conclure.
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soit $s\in \mathcal{L}\left( \mathbb{E}\right) .$ Montrer que $s$ est
une sym\'{e}trie orthogonale ssi deux quelconques des trois conditions
suivantes sont r\'{e}alis\'{e}es :

\begin{enumerate}
\item $s^{2}=\limfunc{id}_{\mathbb{E}}$

\item $\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in \mathbb{E\;\;}\left(
\;\overrightarrow{x}\;\left\vert \;s(\overrightarrow{y})\right. \right)
=\left( \;s(\overrightarrow{x})\;\left\vert \;\overrightarrow{y}\right.
\right) $

\item $\forall \overrightarrow{x}\in \mathbb{E\;\;}\;\left\Vert s\left( 
\overrightarrow{x}\right) \right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{x}%
\right\Vert $
\end{enumerate}

\item En d\'{e}duire que $A\in \mathfrak{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right) $
est une matrice de sym\'{e}trie orthogonale dans une base orthonorm\'{e}e
ssi $A^{2}=I_{n}$ et $A$ est sym\'{e}trique (cf. ex. 18).
\end{enumerate}

\item : Soit $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{E}\right) $ avec $\mathbb{E}$
espace euclidien muni d'une base orthonormale $\mathcal{B}$. On note $A=%
\mathfrak{M}at_{\mathcal{B}}\left( f\right) .$

\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\begin{equation*}
\underset{(1)}{\underbrace{\forall x\in \mathbb{E\;\;\;\;}\;f\left( 
\overrightarrow{x}\right) \perp \overrightarrow{x}}}\;\Leftrightarrow 
\underset{(1^{\prime })}{\underbrace{\;\forall \overrightarrow{x},%
\overrightarrow{y}\in \mathbb{E}\;\;\;\left( \;f(\overrightarrow{x}%
)\;\left\vert \;\overrightarrow{y}\right. \right) =-\left( \;\overrightarrow{%
x}\;\left\vert \;f(\overrightarrow{y})\right. \right) }}
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire que $f$ v\'{e}rifie $\left( 1\right) $ si et seulement
si $A$ est antisym\'{e}trique.

\item Montrer que \textit{en dimension 3}, $f$ v\'{e}rifie $\left( 1\right) $
si et seulement s'il existe $\overrightarrow{a}$ telle que pour tout $%
\overrightarrow{u},$ $f\left( \overrightarrow{u}\right) =\overrightarrow{a}%
\wedge \overrightarrow{u}.$

\item Montrer que parmi les trois propri\'{e}t\'{e}s suivantes, deux d'entre
elles impliquent toujours la troisi\`{e}me :

\begin{enumerate}
\item $\forall \overrightarrow{x}\in \mathbb{E}\;\;\;f\left( \overrightarrow{%
x}\right) \perp \overrightarrow{x}$

\item $\forall \overrightarrow{x}\in \mathbb{E}\;\;\;\left\Vert f\left( 
\overrightarrow{x}\right) \right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{x}%
\right\Vert $ (autrement dit $f$ est un automorphisme orthogonal de $\mathbb{%
E}$).

\item $f^{2}=-\limfunc{id}_{\mathbb{E}}$
\end{enumerate}

Indication : pour i. et ii. $\Rightarrow $iii. utiliser $\overrightarrow{a}=%
\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \left\Vert \overrightarrow{b}-%
\overrightarrow{a}\right\Vert ^{2}=0$ ; pour ii. et iii. $\Rightarrow $i. 
\'{e}crire $\left( \;f\left( \overrightarrow{x}\right) \;\left\vert \;%
\overrightarrow{x}\right. \right) $ $=\left( \;f\left( \overrightarrow{x}%
\right) \;\left\vert -f^{2}\left( \overrightarrow{x}\right) \right. \right) $
; pour i. et iii. implique ii., \'{e}crire $\left\Vert \overrightarrow{x}%
\right\Vert ^{2}=\left( \;\overrightarrow{x}\;\left\vert -f^{2}(%
\overrightarrow{x})\right. \right) .$

Un tel endomorphisme s'appelle une isom\'{e}trie antisym\'{e}trique.

\item Donner des exemples d'isom\'{e}trie antisym\'{e}trique en dimension 2,
3 ou 4, si c'est possible.

\item Donner une condition n\'{e}cessaire et suffisante pour qu'il existe
une isom\'{e}trie antisym\'{e}trique dans $\mathbb{E}.$

\item On suppose que $f$ v\'{e}rifie iii. ; on pose $\left( \;%
\overrightarrow{x}\;\left\vert \;\overrightarrow{y}\right. \right) ^{\prime
}=\left( \overrightarrow{x}\;\;\left\vert \;\overrightarrow{y}\right.
\right) +\left( \;f(\overrightarrow{x})\;\left\vert \;f(\overrightarrow{y}%
)\right. \right) .$ Montrer que $\left( \;.\;\left\vert \;.\right. \right)
^{\prime }$ est un produit scalaire, et que $f$ est une isom\'{e}trie antisym%
\'{e}trique pour ce produit scalaire.
\end{enumerate}

\item : Transpos\'{e}e d'une application lin\'{e}aire pour un produit
scalaire.

Soient $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ deux espaces vectoriels euclidiens.

\begin{enumerate}
\item $f$ est une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F},$ et $g$ une
application de $\mathbb{F}$ vers $\mathbb{E}$. Montrer que si 
\begin{equation*}
\forall \overrightarrow{x}\in \mathbb{E}\;\forall \overrightarrow{y}\in 
\mathbb{F}\;\;\;\left( \;f(\overrightarrow{x})\;\left\vert \;\overrightarrow{%
y}\right. \right) =\left( \;\overrightarrow{x}\;\left\vert \;g(%
\overrightarrow{y})\right. \right)
\end{equation*}%
alors $f$ et $g$ sont lin\'{e}aires.

Indication : calculer $\left( \;f(\overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{%
y})-f(\overrightarrow{x})-\lambda f(\overrightarrow{y})\;\left\vert \;%
\overrightarrow{z}\right. \right) .$

\item Montrer que si $\varphi $ est une forme lin\'{e}aire sur $\mathbb{E}$,
il existe un unique vecteur $\overrightarrow{n}$ tel que 
\begin{equation*}
\overrightarrow{x}\in \mathbb{E}\;\;\;\varphi \left( \overrightarrow{x}%
\right) =\left( \;\overrightarrow{n}\;\left\vert \;\overrightarrow{x}\right.
\right)
\end{equation*}

(petit th\'{e}or\`{e}me de Riesz).

\item Montrer que si $f$ est une application lin\'{e}aire de $\mathbb{E}$
vers $\mathbb{F}$, il existe une unique application $g$ de $\mathbb{F}$ vers 
$\mathbb{E}$ v\'{e}rifiant 
\begin{equation*}
\forall \overrightarrow{x}\in \mathbb{E}\;\forall \overrightarrow{y}\in 
\mathbb{F}\;\;\;\left( \;f(\overrightarrow{x})\;\left\vert \;\overrightarrow{%
y}\right. \right) =\left( \;\overrightarrow{x}\;\left\vert \;g(%
\overrightarrow{y})\right. \right)
\end{equation*}%
Indication : pour $\overrightarrow{y}\in \mathbb{F}$ fix\'{e}, consid\'{e}%
rer la forme lin\'{e}aire $\overrightarrow{x}\mapsto \left( \;f(%
\overrightarrow{x})\;\left\vert \;\overrightarrow{y}\right. \right) .$

D\'{e}duire du (a) la lin\'{e}arit\'{e} de $g$ ; montrer que les matrices de 
$f$ et $g$ dans des bases orthonorm\'{e}es de $\mathbb{E}$ et de $\mathbb{F}$
sont transpos\'{e}es l'une de l'autre.\newline
$g$ est appel\'{e}e la transpos\'{e}e de $f.$\newline
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Rappeler comment est d\'{e}fini le produit scalaire usuel dans $%
M_{n}\left( \mathbb{R}\right) .$

\item Montrer que l'application $A\mapsto \,^{t}A$ est une sym\'{e}trie
orthogonale de $M_{n}\left( \mathbb{R}\right) .$
\end{enumerate}

\item : Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur unitaire d'un espace vectoriel
euclidien $\mathbb{E}$ ; on appelle $p$ la projection orthogonale sur la
droite $D=$vect$\left( \overrightarrow{n}\right) $ et $s$ la r\'{e}flexion
de base $\overrightarrow{n}^{\perp }.$

\begin{enumerate}
\item Rappeler la formule pour $p\left( \overrightarrow{x}\right) $
utilisant le produit scalaire.

\item Donner la matrice de $p$ dans une base orthonormale $\mathcal{B}$ dans
le cas o\`{u} $\dim \mathbb{E}=3,$ et o\`{u} $\overrightarrow{n}\left\vert 
\begin{array}{c}
a \\ 
b \\ 
c%
\end{array}%
\right. _{/\mathcal{B}}.$

\item En d\'{e}duire, toujours dans ce cas, la matrice de la r\'{e}flexion $%
s $ dans $\mathcal{B}.$\newline

\item * Revenant au cas g\'{e}n\'{e}ral, montrer que si $N$ est la matrice
colonne des coordonn\'{e}es de $\overrightarrow{n}$ dans une base
orthonormale $\mathcal{B}$, $X$ celle de $\overrightarrow{x}$ et $Y$ celle
de $p\left( \overrightarrow{x}\right) ,$ alors $Y=N^{t}NX$ ; en d\'{e}duire $%
P=$ mat$_{\mathcal{B}}\left( p\right) $ et $S=$mat$_{\mathcal{B}}\left(
s\right) $ ; expliquer alors comment a \'{e}t\'{e} fabriqu\'{e} l'exercice 7
a) sur les matrices.
\end{enumerate}

\item * : On consid\`{e}re $E=\left\{ f\in C^{2}\left( [a,b],\mathbb{R}%
\right) \;/~f\left( a\right) =f\left( b\right) =0\;\right\} $.

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $E$ est un espace vectoriel ; on le munit du produit
scalaire d\'{e}fini par $\left( f\;|\;g\right) =\int_{a}^{b}fg$

\item Montrer que la d\'{e}rivation $D$ est un endomorphisme antisym\'{e}%
trique de $E,$ c'est-\`{a} dire que pour tout $f,g\in E$%
\begin{equation*}
\;\left( \;D(f)\;\left\vert \;g\right. \right) =-\left( \;f\;\left\vert
\;D(g)\right. \right)
\end{equation*}

que dire de $D^{2}$ ?

\item En d\'{e}duire que $\ker \left( D^{2}-\lambda id_{E}\right) $ et $\ker
\left( D^{2}-\mu id_{E}\right) $ sont orthogonaux pour $\lambda \neq \mu \in 
\mathbb{R}^{\ast }.$

\item On prend $a=0$ et $b=\pi $ ; d\'{e}terminer $\ker \left( D^{2}-\lambda
id_{E}\right) $ suivant les valeurs de $\lambda \in \mathbb{R}$.
\end{enumerate}

$\fbox{AUTOMORPHISMES ET MATRICES ORTHOGONAUX\ }$\newline
\newline

\item : Les endomorphismes non nuls conservant l'orthogonalit\'{e} sont les
similitudes.

Soit $f$ un endomorphisme \textit{non nul} d'un espace euclidien.

On dit que $f$ est une similitude s'il existe $k\neq 0$ tel que $\forall 
\overrightarrow{x}\in E$ $\left\Vert f\left( \overrightarrow{x}\right)
\right\Vert =k\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert $ (autrement dit, $f$
est $k$ fois une isom\'{e}trie) ; on veut montrer qu'une condition n\'{e}%
cessaire et suffisante est que $f$ conserve l'orthogonalit\'{e} (c'est \`{a}
dire $\overrightarrow{x}\perp \overrightarrow{y}\Rightarrow f(%
\overrightarrow{x})\perp (\overrightarrow{y})$ ).

\begin{enumerate}
\item Condition sufisante : supposons que $f$ conserve l'orthogonalit\'{e}.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ conserve l'\'{e}galit\'{e} des normes , c'est-\`{a}%
-dire que si deux vecteurs ont la m\^{e}me norme, leurs images \'{e}galement
(cf. exercice 2.)

\item Montrer qu'il existe un vecteur unitaire $\overrightarrow{x_{0}}$ avec 
$k=\left\Vert f\left( \overrightarrow{x_{0}}\right) \right\Vert \neq 0$

\item Montrer que $f$ est une similitude.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item Soit $f\ $un automorphisme orthogonal d'un espace euclidien $\mathbb{E}
$ ; rappelons que $Inv\left( f\right) \;=\ker \left( f-id\right) $ et $%
Inv^{-}\left( f\right) =\ker \left( f+id\right) $ ;

montrer que $\left( Inv(f)\right) ^{\perp }=\func{Im}\left( f-id\right) $ et
que $Inv^{-}\left( f\right) $ en est un sev.

\item : Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur norm\'{e} d'un espace vectoriel
euclidien $\mathbb{E}.$ On pose $f\left( \overrightarrow{x}\right) =%
\overrightarrow{x}+\lambda \left( \;\overrightarrow{x}\left\vert 
\overrightarrow{n}\right. \right) \overrightarrow{n}.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer une condition n\'{e}cessaire et suffisante sur $\lambda 
$ pour que $f$ soit une isom\'{e}trie vectorielle.

\item Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement l'application $f$ dans ce cas,
ainsi que $-f.$
\end{enumerate}

\item : Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur norm\'{e} d'un espace vectoriel
euclidien $\mathbb{E}$, $s_{\overrightarrow{n}}$ la r\'{e}flexion par
rapport \`{a} $\overrightarrow{n}^{\perp }$ et $f$ une isom\'{e}trie
quelconque ; montrer que $f\circ s_{\overrightarrow{n}}=s_{f(\overrightarrow{%
n})}\circ f$ (utiliser l'expression trouv\'{e}e dans l'exercice pr\'{e}c\'{e}%
dent).
\end{enumerate}

\end{document}
